Термодінамічна бета

Шкала перетворїня теплоты/студености СІ: Теплоты подля шкалы Келвіна указаны синов фарбов (шкала Целзія — зеленов, шкала Фаренгайта — червенов), значіня студености в ґіґабайтах на наноджавль указаны чорнов. Безконечна теплота (нулова студеность) указана горї на діаґрамі; позітівны значіня студености/теплоты — направо, неґатівны — налїво.

В шстатістічной термодінаміцї термодінамічна бета, тыж знама як студеность, є величінов, оберненов ку термодінамічной теплотї сістемы:$$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (де T — теплота, а k_B — конштанта Болцманна).

Термодінамічна бета мать розмїр, оберненый енерґії (в єдиніцях СІ, оберненый джавль, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). В нетепловых єдиніцях єй тыж мож міряти в байтах на джавль або, што выгоднїше, в ґіґабайтах на наноджавль; 1 K⁻¹ є еквівалентный приближно 13 062 ґіґабайтам на наноджавль; при комнатной теплотї: T = 300 K, β ≈ 44 ҐБ/нДж ≈ 39 еВ⁻¹ ≈ 2,4 ⋅ 10²⁰ Дж⁻¹. Коефіцієнт перетворїня: 1 ҐБ/нДж = $8\ln 2\times 10^{18}$ Дж⁻¹.

Опис

Термодінамічна бета, по сутї, є споёвным ланком меджі теоріёв інформації і шстатістічнов механіков в інтерпретації фізікалной сістемы через єй ентропію і термодінаміков, споєнов з єй енерґіёв. Она высловлює реакцію ентропії на звекшіня енерґії. Кідь до сістемы ся додасть мале множество енерґії, то β описує ступінь рандомізації сістемы.

Через шстатістічне дефінованя теплоты як функції ентропії, функцію студености мож вырахувати в мікроканонічном ансамблю подля формулы

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(т. є. партікуларна дерівація ентропії S подля енерґії E при конштантнім обємі V і чіслї частиць N).

Перевагы

Хоць β є цілком еквівалентна теплотї в концептуалнім обсягу, она ся звычайно поважує за фундаменталнїшу величіну, як теплота, через яв неґатівной теплоты, при котрім β є контінуална при переходї через нулу, кідь T мать сінґуларіту.

Окрем того, β мать перевагу в тім, же єй кавзалный одношай легше зрозуміти: кідь до сістемы ся додасть мале множество тепла, β є звекшіня ентропії, дїлене на звекшіня тепла. Теплоту є тяжко інтерпретовати в такім самім змыслї, бо не є можне "додати ентропію" до сістемы інакше, як непрямо, змінов іншых величін, як теплота, обєм або чісло частиць.

Шстатістічна інтерпретація

Зі шстатістічного погляду, β — то чіселна величіна, што споює дві макроскопічны сістемы в ровновазї. Точна формулація є така. Розважме дві сістемы, 1 і 2, што суть в тепловім контактї, з одповідныма енерґіями E₁ і E₂. Припустьме, же E₁ + E₂ = даяка конштанта E. Чісло мікроставів каждой сістемы означме Ω₁ і Ω₂. В рамках нашых припущінь Ω_i залежыть лем од E_i. Тыж припущаме, же будьякый мікростав сістемы 1, злучітельный з E₁, може екзістовати вєдно з будьякым мікроставом сістемы 2, злучітельным з E₂. Такым чіном, чісло мікроставів про споєну сістему є

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,$

Выведеме β з основного постулата шстатістічной механікы:

Кідь споєна сістема досягне ровновагы, чісло Ω ся максімалізує.

(Іншыма словами, сістема природно прямує ку максімалному чіслу мікроставів.) З того слїдує, же в ровновазї:

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Але E₁ + E₂ = E значіть

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

Так же

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

т. є.

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{в ровновазї.}}$

Высше наведене одношіня мотівує дефініцію β:

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Споїня шстатістічной і термодінамічной інтерпретацій

Кідь дві сістемы суть в ровновазї, мають єднаку термодінамічну теплоту T. Прото інтуітівно мож чекати, же β (дефінована через мікроставы) є якось споєна з T. Тот одношай ся забезпечує основным постулатом Болцманна, записаным як

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

де k_B — конштанта Болцманна, S — класічна термодінамічна ентропія, а Ω — чісло мікроставів. Такым чіном,

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

Підставивши до дефініції β зі шстатістічной дефініції высше, достанеме

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

Порівнавши з термодінамічнов формулов

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

маєме

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

де $\tau$ называть ся фундаменталнов теплотов сістемы і мать розмїр енерґії.

Історія

Термодінамічна бета была первотно заведена в 1971 роцї (як Kältefunktion «функція студености») Інґом Мюллером, єдным з прихылників школы мыслїня раціоналной термодінамікы, на основі скоршых пропозіцій о функції «оберненой теплоты».

См. тыж

Роздїлїня Болцманна

Канонічный ансамбель

Модел Ізінґа